$\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } \frac{{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}+1}-\left(\mathrm{n}+1\right){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+1}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}\right)\mathrm{sin\pi x}}$  where n=100, is equal to

$\begin{array}{l}\mathrm{L}= \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } \frac{{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}-1\right)-\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1\right)}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}\right)\mathrm{sin\pi x}}\\ \mathrm{Put} \mathrm{x} =1+\mathrm{h} \mathrm{so} \mathrm{that} \mathrm{as} \mathrm{x}\to 1, \mathrm{h}\to 0. \mathrm{Therefore}\\ \mathrm{L}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{h}.\mathrm{n}{\left(1+\mathrm{h}\right)}^{\mathrm{n}}-\left({\left(1+\mathrm{h}\right)}^{\mathrm{n}}-1\right)}{\mathrm{e}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{h}}-1\right)\mathrm{sin\pi h}}\\ \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{n}.\mathrm{h}\left(1+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1\mathrm{h}+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{h}}^2+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_3{\mathrm{h}}^3+...\right)-\left(1+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1\mathrm{h}+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{h}}^2+{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_3{\mathrm{h}}^3+...-1\right)}{\mathrm{\pi e}\left({\mathrm{h}}^2\right)\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{h}}-1}{\mathrm{h}}\right)\left(\frac{\mathrm{sin\pi h}}{\mathrm{\pi h}}\right)}\\ =-\frac{{\mathrm{n}}^2-{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2}{\mathrm{\pi e}}=-\left[\frac{2{\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right)}{2\mathrm{\pi e}}\right]\\ =\frac{{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}}{2\left(\mathrm{\pi e}\right)}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2\left(\mathrm{\pi e}\right)}\\ \mathrm{If} \mathrm{n}=100, \mathrm{then} \mathrm{L}=-\left(\frac{5050}{\mathrm{\pi e}}\right)\end{array}$