$\underset{x\to 0}{Lt}\frac{e^{\sin ax}-e^{\sin bx}}{\tan 2x}=$

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lt}} \frac{{\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{ax}}-{\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{bx}}}{\tan 2\mathrm{x}} \\ =\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{lt}} \frac{{\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{bx}}\left({\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{ax}-\sin \mathrm{bx}}-1\right)}{(\sin \mathrm{ax}-\sin \mathrm{bx})} \frac{(\sin \mathrm{ax}-\sin \mathrm{bx})}{\mathrm{x}} \frac{\mathrm{x}}{\tan 2\mathrm{x}} \\ =1(\mathrm{a}-\mathrm{b}).\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2} \end{gathered}$$