$\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}}\frac{1+\cos 2\mathrm{x}}{\cot 3\mathrm{x}\left(3^{\sin 2\mathrm{x}}-1\right)}$

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}}\frac{1+\cos 2\mathrm{x}}{\cot 3\mathrm{x}\left(3^{\sin 2\mathrm{x}}-1\right)} \\ =\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}} \frac{(1+\cos 2\mathrm{x})\tan 3\mathrm{x}}{3^{\sin 2\mathrm{x}}-1} \\ =\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}} \frac{2{\cos }^2\mathrm{x} {\displaystyle \frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{x}}}}{\left({\displaystyle \frac{3^{\sin 2\mathrm{x}}-1}{\sin 2\mathrm{x}}}\right) \sin 2\mathrm{x}} \\ =\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}} \frac{2{\cos }^2\mathrm{x} \sin 3\mathrm{x}}{(4{\cos }^2\mathrm{x}-3\cos \mathrm{x})2\mathrm{xin} \mathrm{x} \cos \mathrm{x}}.\frac{\sin 2\mathrm{x}}{3^{\sin 2\mathrm{x}}-1 } \\ =\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{Lt}} \frac{\sin 3\mathrm{x}}{(4{\cos }^2\mathrm{x}-3)\sin \mathrm{x}}.\frac{\sin 2\mathrm{x}}{3^{\sin 2\mathrm{x}}-1} \\ =\frac{-1}{(0-3)}\frac{1}{\log 3}=\frac{1}{3\log 3} \end{gathered}$$