Match the following

List I (Function)	List II
A) $\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2$	P) Constant function
B)  $\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$	Q) Identity function
C) $\mathrm{For}3<\mathrm{x}<5$ , The function  $\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|$	R) Even function
D) $f\left(x\right)=2023$	S)  Odd function

$\left(a\right)f\left(-x\right)=f\left(x\right)$                 Even Function

$f\left(x\right)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2$

$f\left(-x\right)=\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{x}{2}+2$

$f\left(-x\right)=\frac{x{e}^x}{e^x-1}-\frac{x}{2}+2$

$f\left(-x\right)=\frac{x\left(e^x-1\right)+x}{e^x-1}-\frac{x}{2}+2$

$f\left(-x\right)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+2$

$\left(b\right)$            Odd Function

$f\left(x\right)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

$f\left(-x\right)=\log \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$

$f\left(-x\right)=\log \frac{\left(1+x^2-x^2\right)}{x+\sqrt{1+x^2}}$

$f\left(-x\right)=-\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$

$$\begin{gathered} \left(c\right)3<x<5 \\ f\left(x\right)=\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|=x-2+x-3+5-x=x \end{gathered}$$                       

$\left(d\right)f\left(x\right)=c$                           constant function