Matrix Matching :

$ABCD$ is a rectangle in the clockwise direction. The co-ordinates of $A$ and $C$ are $(1,3)$ and $(5,1)$  respectively. The vertices $B$ and $C$ are lies on the line $y=2x+c$, the co-ordinates of the

A)    $A(1,3),C(5,1)$ middle point of $BD$

$=$ middle point of $AC$

$=[\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}]$

$=[\frac{1+5}{2},\frac{3+1}{2}]$

$O=(3,2)$

$O(3,2)$ is lies in $y=2x+c$

$\Rightarrow 2=2\left(3\right)+C$ 

$C=-4$

$\therefore$ The line of $BD$ is

$D=(k,2k-4)$

$y=2x-4$

$AD\perp CD$

(Slope $AD$) $\times$ (slope $CD$) $=-1$

$\frac{2k-4-3}{k-1}\times \frac{1-2k+y}{5-1}=-1$

$(\frac{2k-7}{k-1}\times \frac{2k-5}{k-5})=-1$

$4k^2-10k-14k+35=-(k^2-6k+5)$

$5k^2-30k+40=0$

$k^2-6k+8=0$

$(k-4)(k-2)=0$

$k=4,2$

$D=(k,2k-4)$

$=(2,0)$

B) Let $B=(x,y)$

Point $\left(O\right)=(\frac{2+x}{2},\frac{0+y}{2})$

$(3,2)=(\frac{2+x}{2},\frac{y}{2})$

$3=\frac{2+x}{2}$

$x=4$

$\frac{y}{2}=2$

$y=4$

$B=(4,4)$

B)    Middle point of $AB=(\frac{1+4}{2},\frac{3+4}{2})$

$=(\frac{5}{2},\frac{7}{2})$

C)    Middle point of $BC=(\frac{4+5}{2},\frac{4+1}{2})$

$=(\frac{9}{2},\frac{5}{2})$

The point  $D=(2,0)$