$\underset{0\le \mathrm{x}\le \mathrm{\pi }}{\max }\{\mathrm{x}-2\mathrm{sinxcosx}+\frac{1}{3}\sin 3\mathrm{x}\}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-2\mathrm{sinxcosx}+\frac{1}{3}\sin 3\mathrm{x}=\mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}+\frac{1}{3}\sin 3x \\ f\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=1-2\cos 2\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =1-2(2{\mathrm{t}}^2-1)+(4{\mathrm{t}}^3-3\mathrm{t}),\mathrm{t}=\mathrm{cosx} \\ =4{\mathrm{t}}^3-4{\mathrm{t}}^2-3\mathrm{t}+3=4{\mathrm{t}}^2(\mathrm{t}-1)-3(\mathrm{t}-1) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =(\mathrm{t}-1)\mathrm{\hspace{0.17em}}(2\mathrm{t}-\sqrt{3})\mathrm{\hspace{0.17em}}(2\mathrm{t}+\sqrt{3}) \\ =(\mathrm{cosx}-1)\mathrm{\hspace{0.17em}}(2\mathrm{cosx}-\sqrt{3})\mathrm{\hspace{0.17em}}(2\mathrm{cosx}+\sqrt{3}) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \mathrm{x}=0\left(\mathrm{or}\right)\mathrm{\pi }/6\left(\mathrm{or}\right)\frac{5\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{f}\left(0\right)=0,\mathrm{f}(\mathrm{\pi }/6)=\frac{\mathrm{\pi }}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}=\frac{\mathrm{\pi }-3\sqrt{3}+2}{6} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5\mathrm{\pi }+3\sqrt{3}+2}{6} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }\right)=\mathrm{\pi } \end{gathered}$$