Maximum value of $\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}$ occurs when x = 

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =& \frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}\\ {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)& =& \frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)\left(1\right)-\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^2{\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^2 \\ }\\ & =& \frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{ab}-2{\mathrm{x}}^2-\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^2{\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^2}\\ & =& \frac{\mathrm{ab}-{\mathrm{x}}^2}{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^2{\left(\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^2}\end{array} \end{gathered}$$

min or max of $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{ab}={\mathrm{x}}^2 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{ab}} \end{gathered}$$

=G.M of a,b