Minimum value of ${\left(\mathrm{Sinx}\right)}^{\mathrm{Sinx}}$ is
 

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\sin \mathrm{x}\right)}^{\sin \mathrm{x}} \\ \log \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x} \log \sin \mathrm{x} \\ \frac{1}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x}.\frac{1}{\sin \mathrm{x}}\cos \mathrm{x}+\log \sin \mathrm{x}.\cos \mathrm{x} \\ \frac{{\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\cos \mathrm{x}+\cos \mathrm{x} \log \sin \mathrm{x} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{is} \min \mathrm{or} \max \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \mathrm{cosx}\left(1+\log \sin \mathrm{x}\right)=0 \\ \cos \mathrm{x}=0 \log \sin \mathrm{x}=-1 \\ \mathrm{x}=\mathrm{\pi }/2 \sin \mathrm{x}={\mathrm{e}}^{-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }/2\right)={\left(1\right)}^1=1 \\ \mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)={\left({\mathrm{e}}^{-1}\right)}^{{\mathrm{e}}^{-1}}={\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{e}} \\ \therefore \min \mathrm{value} ={\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{e}} \end{gathered}$$