$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }\frac{2{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}!}=$

$\begin{array}{rcl} & & \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{2{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}}}}\\ & =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \left(\frac{2\mathrm{n}}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}+\frac{1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}+\frac{1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}}}}\right)\\ & =& \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \frac{(\mathrm{n}-1)+1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}+\mathrm{e}+(\mathrm{e}-1)\\ & =& 2\left[\sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty } \left(\frac{1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-2}}}+\frac{1}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}\right)\right]+2\mathrm{e}-1\\ & =& 2\left[\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}\right)\right]+2\mathrm{e}-1\\ & =& 6\mathrm{e}-1\end{array}$