Normal at point (5, 3) to the rectangular hyperbola xy – y – 2x – 2 = 0 meets the curve again at

$$\begin{gathered} \mathrm{Given} \mathrm{hyperbola} \mathrm{xy}-\mathrm{y}-2\mathrm{x}-2=0 — ① \\ and point \mathrm{P}=(5, 3) \\ \mathrm{dirt} \mathrm{w}.\mathrm{r}. \mathrm{to} \text{'}\mathrm{x}\text{'} \mathrm{on} \mathrm{b}.\mathrm{s} \\ \mathrm{x} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-2=0 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2-\mathrm{y}}{\mathrm{x}-1} \\ \mathrm{slope} \mathrm{of} \mathrm{tangent} \mathrm{at} \mathrm{P}=\frac{-1}{4} \\ \mathrm{slope} \mathrm{of} \mathrm{normal} \left(\mathrm{m}\right)=4 \\ \mathrm{Now} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{normal} \mathrm{at} \mathrm{P} \mathrm{is} \mathrm{y}-3=4(\mathrm{x}-5) \\ \Rightarrow \mathrm{y}=4\mathrm{x}-17 — ② \\ \mathrm{sub} \mathrm{y} \mathrm{in} ① \\ \mathrm{x}(4\mathrm{x}-17)-(4\mathrm{x}-17)-2\mathrm{x}-2=0 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2-17\mathrm{x}-4\mathrm{x}+17-2\mathrm{x}-2=0 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2-23\mathrm{x}+15=0 \\ \Rightarrow (\mathrm{x}-5) (4\mathrm{x}-3)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=5 \left(\mathrm{or}\right) \mathrm{x}=\frac{3}{4} \\ \mathrm{sub} \mathrm{x}=\frac{3}{4} \mathrm{in} ② \Rightarrow \mathrm{y}=-14 \\ \therefore \mathrm{normal} \mathrm{meets} \mathrm{again} \mathrm{at} \left(\frac{3}{4}, -14\right) \end{gathered}$$