$\mathrm{P}$ is a point on the ellipse $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$ with foci at $\mathrm{S},{\mathrm{S}}^{\mathrm{l}} .$ Normal at $\mathrm{P}$ cuts the x-axis at $\mathrm{G}$ of  $\frac{\mathrm{SP}}{{\mathrm{S}}^{\mathrm{l}}\mathrm{P}}=\frac{2}{3}$ then $\frac{\mathrm{SG}}{{\mathrm{S}}^{\mathrm{l}}\mathrm{G}}=$

Given ellipse $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b})$

Let $\mathrm{P}=\left(\mathrm{a} \mathrm{cos\theta }, \mathrm{b} \mathrm{sin\theta }\right)$ be any point on ellipse.

Equation of normal at $\mathrm{P}\left(\mathrm{\theta }\right)$ is $\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{cos\theta }}-\frac{\mathrm{by}}{\mathrm{sin\theta }}={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$

since normal cuts x-axis at G then $\mathrm{G}=\left(\frac{({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2)\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{a}}, 0\right)$

Now $\mathrm{CG}=\frac{({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2)\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{a}}$

and $\mathrm{SP}=\mathrm{a}(1-\mathrm{e} \mathrm{cos\theta }), {\mathrm{S}}^1\mathrm{P}=\mathrm{a}(1+\mathrm{e} \mathrm{cos\theta })$

Now $\frac{\mathrm{SP}}{{\mathrm{S}}^1\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{a}(1-\mathrm{e} \mathrm{cos\theta })}{\mathrm{a}(1+\mathrm{e} \mathrm{cos\theta })}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1-\mathrm{e} \mathrm{cos\theta }}{1+\mathrm{e} \mathrm{cos\theta }}=\frac{2}{3}$

Now $\mathrm{SG}=\mathrm{CS}-\mathrm{CG}$

               $=\mathrm{ae}-\frac{({\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2)\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{a}}=\frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{e}-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{e}}^2{\cos }^{ }\mathrm{\theta }}{\mathrm{a}}$

$\mathrm{SG}=\frac{{\mathrm{a}}^2\mathrm{e}(1-\mathrm{e} \mathrm{cos\theta })}{\mathrm{a}}=\mathrm{ae}(1-\mathrm{ecos\theta })$

similarly  ${\mathrm{S}}^1\mathrm{G}=\mathrm{ae}(1+\mathrm{e} \mathrm{cos\theta })$

Now $\frac{\mathrm{SG}}{{\mathrm{S}}^1\mathrm{G}}=\frac{1-\mathrm{e} \mathrm{cos\theta }}{1+\mathrm{e} \mathrm{cos\theta }}=\frac{2}{3}$