$\text{⨍ : R-}\left\{0\right\}\text{ → R}$ given by $\text{⨍ (x)=}\frac{1}{\mathrm{x}}\text{-}\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}$ can be made continuous at $\mathrm{x}=0$ by defining $\mathrm{f}\left(0\right)$ is

$\begin{array}{rcl}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =& \frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}, \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{x}=0\\ & \Rightarrow & \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{exists}\\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}\\ & =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1\right)-2\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1\right)}\\ & =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1\right)-2\mathrm{x}}{2{\mathrm{x}}^2} \mathrm{since} \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{2\mathrm{x}}=1\\ & =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2}{4\mathrm{x}} \mathrm{exists}\\ \mathrm{f}\left(0\right)& =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1\right)}{2\left(2\mathrm{x}\right)}=1\\ & & \end{array}$