$\int \frac{{\sec }^{2}x}{(\sec x+\tan x{)}^5}dx=\frac{-1}{4(\sec x+\tan x{)}^4}\left[A+\frac{1}{3(\sec x+\tan x{)}^2}\right]+C\text{ then }\mathrm{A}=$

$\int \frac{{\sec }^2\mathrm{x}}{(\sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}{)}^5}\mathrm{dx}$

Put $\mathrm{secx}+\mathrm{tanx}=\mathrm{t}$

$\begin{array}{l}\sec \mathrm{x}[\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}]\mathrm{dx}=\mathrm{dt}\\ \sec \mathrm{xdx}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\\ \sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \Rightarrow \sec \mathrm{x}-\tan \mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{t}}\end{array}$

Add $2\mathrm{secx}=\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}$

$\begin{array}{l}\sec \mathrm{x}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}\right)\\ \int \frac{\frac{1}{2}\left(\mathrm{t}+\frac{1}{\mathrm{t}}\right)}{{\mathrm{t}}^5}\times \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\\ =\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{{\mathrm{t}}^5}+\frac{1}{{\mathrm{t}}^7}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\left[\frac{-1}{4{\mathrm{t}}^4}-\frac{1}{6{\mathrm{t}}^6}\right]+\mathrm{c}\\ =\frac{-1}{4(\sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}{)}^4}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{3(\sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}{)}^2}\right]+\mathrm{c}\\ \mathrm{A}=1/2\end{array}$