Shortest distance from $(-6,0)$ to ${\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+16=0$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{given} \mathrm{A}\left(-6, 0\right) \\ \mathrm{Let} \mathrm{point} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}\right) \mathrm{lies} \\ \mathrm{on} {\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+16=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^2={\mathrm{x}}^2+16 \\ {\mathrm{PA}}^2={\left(\mathrm{x}+6\right)}^2+{\mathrm{y}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{S}={\mathrm{PA}}^2={\left(\mathrm{x}+6\right)}^2+{\mathrm{x}}^2+16 \\ {\mathrm{S}}^1=2\left(\mathrm{x}+6\right)+2\mathrm{x} \\ \mathrm{s} \mathrm{is} \min \mathrm{or} \max \\ {\mathrm{S}}^1=0 \\ 2\mathrm{x}+12+2\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{x}=-3 \\ {\mathrm{PA}}^2={\left(6-3\right)}^2+9+16 \\ =9+25=34 \\ \mathrm{PA}=\sqrt{34} \end{gathered}$$