$\frac{\sin A+\sin 5A+\sin 9A}{\cos A+\cos 5A+\cos 9A}=$

$=\frac{\sin A+\sin 5A+\sin 9A}{\cos A+\cos 5A+\cos 9A}$

$=\frac{2\sin 5A.\cos 4A+\sin 5A}{2\cos 5A.\cos 4A+\cos 5A}$

$=\frac{\sin 5A(2\cos 4A+1)}{\cos 5A(2\cos 4A+1)}$

$=\tan 5A$