Solution of $\mathrm{xy}-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{y}}^3{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2}$ is

$\begin{array}{rcl}\frac{-\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{xy}& =& {\mathrm{y}}^3 {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2}\\ & \Rightarrow & \frac{-1}{{\mathrm{y}}^3} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{1}{{\mathrm{y}}^2}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2}\\ & \Rightarrow & \mathrm{Put} \frac{1}{{\mathrm{y}}^2}=\mathrm{t}\\ -2{\mathrm{y}}^{-3} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}& =& \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\\ & \Rightarrow & \frac{-1}{{\mathrm{y}}^3} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\end{array}$

Then we get,

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{xt}& =& {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2}\\ & \Rightarrow & \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}+2\mathrm{xt}=2{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2}\end{array}$

$\Rightarrow$ Linear Diff. eqn.

$\begin{array}{rcl} & & \left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\right)\\ \mathrm{I}.\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{dx}}\\ \mathrm{y}·\mathrm{IF}& =& \int \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{IF}\\ \mathrm{I}·\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int 2\mathrm{x} \mathrm{dx}}\\ & =& {\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{t}\left({\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}\right)& =& \int 2 {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2} \mathrm{dx}\\ & =& 2\int {\mathrm{e}}^0 \mathrm{dx}\\ & \Rightarrow & \frac{1}{{\mathrm{y}}^2} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}=2\mathrm{x}+\mathrm{c}\\ {\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}& =& 2{\mathrm{xy}}^2+{\mathrm{cy}}^2\end{array}$