Statement-I : $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{\sqrt{1-{\cos }^2\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}$ does not exist.

Statement-II : $\text{⨍ }\left(\mathrm{x}\right)\text{=}\left|\mathrm{x}\right|$ is continuous on R Which of the above statement is correct

 

Statement I : $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{ }\sqrt{1-\cos 2\mathrm{x}}}{\frac{2}{\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{{\sin }^2 \mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{ }$ 

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left|\mathrm{sinx}\right|}{\mathrm{x}}$

$\mathrm{L}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=-1,\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=1$

$\therefore$ limit does not exist

Statement – II : 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\mathrm{x}\right|$

$\mathrm{L}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left|\mathrm{x}\right|=0$

$\mathrm{R}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{\mathrm{ }}}{\lim }\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left|\mathrm{x}\right|=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{x}=0$

$\mathrm{f}\left(0\right)=0$

$\therefore \mathrm{L}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=\mathrm{R}\mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{ }\mathrm{L}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\omega }\right)\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\mathrm{x}\right|$ is continuous  on R

$\therefore$ Both Statement I and II are correct

$\mathrm{option}\mathrm{ }\left(3\right)\mathrm{ }\mathrm{is}\mathrm{ }\mathrm{correct}$