Suppose a matrix A satisfies $A^2-5A+7I=0$. If $A^5=aA+bI$ then value of 2a + b must be

${\mathrm{A}}^3=\mathrm{A}\cdot {\mathrm{A}}^2=\mathrm{A}(5\mathrm{A}-7I)=5{\mathrm{A}}^2-7\mathrm{A}$

$\Rightarrow A^3=5(5A-7I)-7A=18A-35I$

$\therefore {\mathrm{A}}^4=\mathrm{A}(18\mathrm{A}-35\mathrm{I})=18(5\mathrm{A}-7\mathrm{I})-35\mathrm{A}$

$=55\mathrm{A}-126\mathrm{I}$

${\mathrm{A}}^5={\mathrm{AA}}^4=\mathrm{A}(55\mathrm{A}-126\mathrm{I})=55{\mathrm{A}}^2-126\mathrm{A}$

$=55(5\mathrm{A}-7\mathrm{I})-126\mathrm{A}=149\mathrm{A}-385\mathrm{I}$

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=149,\mathrm{b}=-385 \\ Now 2\mathrm{a}+\mathrm{b}=-87 \end{gathered}$$