Suppose A,B,C are defined as $\mathrm{A}={\mathrm{a}}^2\mathrm{b}+{\mathrm{ab}}^2-{\mathrm{a}}^2\mathrm{c}-{\mathrm{ac}}^2$, $\mathrm{B}={\mathrm{b}}^2\mathrm{c}+{\mathrm{bc}}^2-{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}-{\mathrm{ab}}^2$ and $\mathrm{C}={\mathrm{a}}^2\mathrm{c}+{\mathrm{ac}}^2-{\mathrm{b}}^2\mathrm{c}-{\mathrm{bc}}^2$, where $a>b>c>0$ and the equation ${\mathrm{Ax}}^2+\mathrm{Bx}+\mathrm{C}=0$ has equal roots, then a, b, c are in

$\begin{array}{r}\mathrm{A}=\mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\\ \mathrm{B}=\mathrm{b}(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\\ \mathrm{C}=\mathrm{c}(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\end{array}$

Now, ${\mathrm{Ax}}^2+\mathrm{Bx}+\mathrm{C}=0$

$\Rightarrow (\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\left\{\mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{c}){\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}(\mathrm{c}-\mathrm{a})\mathrm{x}+\mathrm{c}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\right\}=0$

Given that roots are equal. Hence,

 D = 0

$\begin{array}{l}\mathrm{or} {\mathrm{b}}^2{\mathrm{c}}^2-2{\mathrm{ab}}^2\mathrm{c}+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{a}}^2-4{\mathrm{a}}^2\mathrm{bc}+4{\mathrm{acb}}^2+4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{c}}^2-4{\mathrm{abc}}^2=0\\ \mathrm{or} {\mathrm{b}}^2{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{b}}^2{\mathrm{a}}^2+4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{c}}^2+2{\mathrm{ab}}^2\mathrm{c}-4{\mathrm{a}}^2\mathrm{bc}-4{\mathrm{abc}}^2=0\\ \mathrm{or} (\mathrm{bc}+\mathrm{ab}-2\mathrm{ac}{)}^2=0\\ \mathrm{or} \mathrm{bc}+\mathrm{ab}=2\mathrm{ac}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

Hence, a, b, c are in H.P.