Suppose $a, b, c$ are distinct real numbers and $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}a& a^2& b+c\\ b& b^2& c+a\\ c& c^2& a+b\end{array}\right|=0$ .Then $a + b + c$ equals

Using $C_3\to C_3+C_1$ and  taking $(a+b+c)$

common from $C_3$ we get

$\mathrm{\Delta }=(a+b+c){\mathrm{\Delta }}_1$                               (1)

Where

${\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}a& a^2& 1\\ b& b^2& 1\\ c& c^2& 1\end{array}\right|$

Using $R_1\to R_1-R_2$ and $R_2\to R_2-R_3$, we get

$\begin{array}{r}{\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}a-b& a^2-b^2& 0\\ b-c& b^2-c^2& 0\\ c& c^2& 1\end{array}\right|\\ =(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}1& a+b& 0\\ 1& b+c& 0\\ c& c^2& 1\end{array}\right|\\ =(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{cc}1& a+b\\ 1& b+c\end{array}\right|\end{array}$

                                                    [Expand along $C_3$]

$=(a-b)(b-c)(c-a)$                                              (2)

From (1) and (2)

          $\mathrm{\Delta }=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

As      $\mathrm{\Delta }=0$ and $a,b,c$ are distinct

we get           $a+b+c=0$