$\int \frac{Tanx+\sec x-1}{Tanx-\sec x+1}dx=$

$$\begin{gathered} \int \frac{\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}-1}{\tan \mathrm{x}-\sec +1}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}-({\sec }^2\mathrm{x}-{\tan }^2\mathrm{x})}{\tan \mathrm{x}-\sec \mathrm{x}+1}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{(\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x}) (1-(\sec \mathrm{x}-\tan \mathrm{x}\left)\right)}{(\tan \mathrm{x}-\mathrm{secx}+1)}\mathrm{dx} \\ =\int (\tan \mathrm{x}+\sec \mathrm{x})\mathrm{dx} \\ =\log \left|\sec \mathrm{x}\right|+\log \left|\sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}\right|+\mathrm{c} \\ =\log \left|\sec \mathrm{x} (\sec \mathrm{x}+\tan \mathrm{x})\right|+\mathrm{c} \end{gathered}$$