The roots of $x^2-2ax+\left(a^2-b^2\right)=0$  are

$x^2-2ax+a^2-b^2=0$

${\left(x-a\right)}^2-b^2=0$

$\left(x-a+b\right)\left(x-a-b\right)=0$

$x=a-b\left(or\right)x=a+b$

(or)

Given quadratic equation is $x^2-2ax+\left(a^2-b^2\right)=0$

$\text{coefficient}\text{of}{x}^2\times \text{constant}$

$=1\times \left(a^2-b^2\right)$

Now $\left(a^2-b^2\right)=\left(-\left(a-b\right)\right)\times \left(-\left(a+b\right)\right)$

Sum $=-a+b-a-b$

$=2a$

$=\text{coefficient}ofx$

$\therefore x^2-2ax+\left(a^2-b^2\right)=0$

$x^2-\left(a-b\right)x-\left(a+b\right)x+\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0$

$x\left[x-\left(a-b\right)\right]-\left(a+b\right)\left[x-\left(a-b\right)\right]=0$

$\left[x-\left(a-b\right)\right]\left[x-\left(a+b\right)\right]=0$

$x-\left(a-b\right)=0$ $or$ $x-\left(a+b\right)=0$

$x=\left(a-b\right)$ $or$ $x=\left(a+b\right)$