The coefficient of  $x^2$  in $(1+x)(1+2x)(1+4x)(1+8x)\mathrm{.....}(1+2^{2023}x)$  is

Coefficient of   $x^2=\frac{1}{2}\left[{(1+2+2^2\mathrm{......}+2^n)}^2\right]-[1^2+2^2+\mathrm{....}{\left(2^n\right)}^2]$

$=\frac{1}{2}[{\left(\frac{2^{n+1}-1}{1}\right)}^2-\left(\frac{{\left(2^2\right)}^{n+1}-1}{3}\right)]$
 $=\frac{1}{2}\left[(2^{n+1}-1)[(2^{n+1}-1)-\frac{2^{n+1}+1}{3}]\right]=\frac{(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-2)}{3}$