The coefficient of  ${\mathrm{x}}^{53}$ in $\sum _{\mathrm{r}=0}^{100}{ }^{100}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}(\mathrm{x}-3{)}^{100-\mathrm{r}} 2^{\mathrm{r}}$ is

$\sum _{\mathrm{r}=0}^{100}{ }^{100}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}(\mathrm{x}-3{)}^{100-\mathrm{r}}{2}^{\mathrm{r}}=[(\mathrm{x}-3)+2{]}^{100}=(\mathrm{x}-1{)}^{100}=(1-\mathrm{x}{)}^{100}=\sum _{\mathrm{r}=0}^{100} {\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}(-\mathrm{x}{)}^{\mathrm{r}}=\sum _{\mathrm{r}=0}^{100} {(-1{)}^{\mathrm{r}}}^{100}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}.$

$\therefore$ Coefficient of ${\mathrm{x}}^{53}$ $={(-1{)}^{53}}^{100}{\mathrm{C}}_{53}={-}^{100}{\mathrm{C}}_{53}$.