The coefficient of xⁿ in $\frac{1}{\left(1-2\mathrm{x}\right)\left(1-3\mathrm{x}\right)}$ is

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{(1-2\mathrm{x})(1-3\mathrm{x})}& =& \frac{\mathrm{A}}{1-2\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{1-3\mathrm{x}}\\ 1& =& \mathrm{A}(1-3\mathrm{x})+\mathrm{B}(1-2\mathrm{x})\\ \mathrm{x}& =& \frac{1}{2}\Rightarrow 1=\mathrm{A}\left(1-\frac{3}{2}\right)\Rightarrow \mathrm{A}=-2\\ \mathrm{x}& =& \frac{1}{3}\Rightarrow 1=\mathrm{B}\left(1-\frac{2}{3}\right)\Rightarrow \mathrm{B}=3\\ & =& -2{(1-2\mathrm{x})}^{-1}+3{(1-3\mathrm{x})}^{-1} =-2(1+2\mathrm{x}+{\left(2\mathrm{x}\right)}^2+\dots \dots +{\left(2\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}}+\dots )+3(1+3\mathrm{x}+{\left(3\mathrm{x}\right)}^2+\dots +{\left(3\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}}+\dots )\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \mathrm{coeff} & \Rightarrow & 3^{\mathrm{n}+1}-2^{\mathrm{n}+1}\\ & & \end{array}$