The coefficient of xⁿ in $\frac{\mathrm{x}+1}{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\left(\mathrm{x}-2\right)}$ is

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{x}+1}{{(\mathrm{x}-1)}^2 (\mathrm{x}-2)}& =& \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{C}}{{(\mathrm{x}-1)}^2}\\ \mathrm{x}+1& =& \mathrm{A}{(\mathrm{x}-1)}^2\mathrm{B}(\mathrm{x}-2) (\mathrm{x}-1)+\mathrm{C}(\mathrm{x}-2)\\ \mathrm{x}& =& 1 \Rightarrow 2=\mathrm{C}(-1) \Rightarrow \mathrm{C}=-2\\ \mathrm{x}& =& 2 \Rightarrow 3=\mathrm{A}\\ {\mathrm{x}}^2 \mathrm{coeff} & \Rightarrow & 0=\mathrm{A}+\mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{B}=-3\\ & & \frac{3}{\mathrm{x}-2}-\frac{3}{\mathrm{x}-1}-\frac{2}{{(\mathrm{x}-1)}^2}\\ & =& \frac{-3}{2}{\left(1-\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{-1}+3{(1-\mathrm{x})}^{-1}-2{(1-\mathrm{x})}^{-2} =\frac{-3}{2} \left(1+\frac{\mathrm{x}}{2}+{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^2+......{\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}+......\right)\\ & & +3\left(1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+.......+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+......\right)\\ & & -2\left(1+2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^2+.......+(\mathrm{n}+1) {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+......\right)\\ {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \mathrm{coeff} & \Rightarrow & \frac{-3}{2^{\mathrm{n}+1}}+3-2(\mathrm{n}+1)\\ & =& 1-2\mathrm{n}-\frac{3}{2^{\mathrm{n}+1}}\end{array}$