The coefficient of $x^9$ in the expansion of $E$ $=(1+x{)}^{9^{ }}+(1+x{)}^{10}+\dots +(1+x{)}^{100}$is

$\begin{array}{r}E=\frac{(1+x{)}^9\left[(1+x{)}^{92}-1\right]}{1+x-1}\\ =\frac{(1+x{)}^{101}-(1+x{)}^9}{x}\end{array}$
Coefficient of $x^9$ in $E$
                               $=$coefficient of $x^{10}$ in $\left[(1+x{)}^{101}-(1+x{)}^9\right]$
                                ${=}^{101}{C}_{10}$