The complex equation $\left|\mathrm{z}+1-\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{z}+\mathrm{i}-1\right|$ represents a

$$\begin{gathered} \left|\mathrm{z}+1-\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{z}+\mathrm{i}-1\right| \\ \mathrm{substitute} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ \Rightarrow \left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}+1-\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{x}+\mathrm{iy}+\mathrm{i}-1\right| \\ \Rightarrow \left|(\mathrm{x}+1)\right|+\mathrm{i}(\mathrm{y}-1)=\left|(\mathrm{x}-1)\right|+\mathrm{i}(\mathrm{y}+1) \\ \Rightarrow \sqrt{{(\mathrm{x}+1)}^2+{(\mathrm{y}-1)}^2}=\sqrt{{(\mathrm{x}-1)}^2+{(\mathrm{y}+1)}^2} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+1+2\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2+1-2\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+1-2\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^{2}1+2\mathrm{y} \\ \therefore 4(\mathrm{x}-\mathrm{y})=0 \Rightarrow \boxed{\mathrm{x}-\mathrm{y}=0 \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{straight} \mathrm{line}} \end{gathered}$$