The curve $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}$ is inclined at angle ${45}^0$ to $\mathrm{x}$-axis at $(0, 0)$ but it touches $\mathrm{X}$-axis at $(1, 0)$ then the value of $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ are given by

$\mathrm{y}=\mathrm{a} {\mathrm{x}}^3+\mathrm{b} {\mathrm{x}}^2+\mathrm{c} \mathrm{x}$

point (1, 0) lies on curve $\Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}& =& 3{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{b} \mathrm{x}+\mathrm{c} \Rightarrow {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{(0, 10)}=1\\ & \Rightarrow & \mathrm{c}=1\\ {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{(1, 0)}& =& 0 \Rightarrow 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\\ 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}& =& 1\\ \mathrm{a}+\mathrm{b}& =& -1 \Rightarrow \mathrm{b}=-1-\mathrm{a}\\ 3\mathrm{a}+2\mathrm{b}& =& -1 \Rightarrow 3\mathrm{a}-2-2\mathrm{a}=-1\\ & \Rightarrow & \mathrm{a}=1, \mathrm{b}=-2 \end{array}$