The derivative of  $Ta{n}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$ with respect to $Ta{n}^{-1}\left(\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2}\right)$  at   $x=\frac{1}{2}$ is
 

Let f(x) = Tan-1 $\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$                   g(x) = Tan-1   $\left(\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2}\right)$ 
put x = $\mathrm{Tan}\theta$                                           put x =  $\mathrm{Sin}\phi$
f(x) = Tan-1   $\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{Sec}}^2\theta }-1}{\mathrm{Tan}\theta }\right)$                       g(x) = Tan-1  $\left(\frac{\mathrm{Sin}2\phi }{\mathrm{Cos}2\phi }\right)$  
f(x) = Tan-1   $\left(\frac{\mathrm{Sec}-1}{\mathrm{Tan}\theta }\right)$                              g(x) = Tan-1$\left(\mathrm{Tan}2\phi \right)$  
f(x) = Tan-1     $\left(\frac{1-\mathrm{Cos}\theta }{Sin\theta }\right)$                         g(x) =   $2\phi =2Si{n}^{-1}\left(x\right)$ 
f(x) = Tan-1   $\left(\mathrm{Tan}\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\theta }{2}$    $g^1\left(x\right)=2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$                         
f1(x) =  $\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}$  $\therefore \frac{f^1\left(x\right)}{g^1\left(x\right)}=\frac{\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}}{2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$   $=\frac{1}{4}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}$
   
at     $x=\frac{1}{2}then\frac{f^1\left(x\right)}{g^1\left(x\right)}=\frac{\sqrt[ ]{3}}{10}$