The determinant $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}\\ \mathrm{b}& \mathrm{c}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\\ \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}& 0\end{array}\right|=0$ is equal to zero, if

Given that $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}\\ \mathrm{b}& \mathrm{c}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\\ \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}& 0\end{array}\right|=0$

Operating ${\mathrm{C}}_3\to {\mathrm{C}}_3-{\mathrm{C}}_1\mathrm{\alpha }-{\mathrm{C}}_2$, we get

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& 0\\ \mathrm{b}& \mathrm{c}& 0\\ \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}& -\left({\mathrm{a\alpha }}^2+\mathrm{b\alpha }+\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\right)\end{array}\right|=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left({\mathrm{a\alpha }}^2+2\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\right)\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& 0\\ \mathrm{b}& \mathrm{c}& 0\\ \mathrm{a\alpha }+\mathrm{b}& \mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}& 1\end{array}\right|=0\\ \Rightarrow \left(\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2\right)\left({\mathrm{a\alpha }}^2+2\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\right)=0\end{array}$

So, either $\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2=0\text{ or }{\mathrm{a\alpha }}^2+2\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}=0$

This means that either a, b, c are in G.P. or $(\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })$ is a factor of ${\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+\mathrm{c}$.