The differential equation by eliminating A,B from $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}$ (Acos3x + Bsin3x) is 

 

$\begin{array}{rcl}\mathrm{y}& =& {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}} (\mathrm{A} \cos 3\mathrm{x}+\mathrm{B} \sin 3\mathrm{x})\\ \mathrm{y} {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}} & =& \mathrm{A} \cos 3\mathrm{x}+\mathrm{B} \sin 3\mathrm{x}\\ & & \mathrm{y}\left(-2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\right)+{\mathrm{y}}^1\left({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\right)\\ & =& -\mathrm{A}3 \sin 3\mathrm{x}+3\mathrm{B} \cos 3\mathrm{x}\\ & & \left(-2\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^1\right) {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\\ & =& -3\mathrm{A} \sin 3\mathrm{x}+3\mathrm{B} \cos 3\mathrm{x}\\ & & \left(-2{\mathrm{y}}^1+{\mathrm{y}}^{11}\right) {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+\left(-2\mathrm{y}+{\mathrm{y}}^1\right) \left(-2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\right)\\ & =& -9\mathrm{A} \cos 3\mathrm{x}-9\mathrm{B} \sin 3\mathrm{x}\\ \left({\mathrm{y}}^{11}-4{\mathrm{y}}^1+4\mathrm{y}\right)& =& -9\mathrm{y}\\ {\mathrm{y}}^{11}-4{\mathrm{y}}^1+13\mathrm{y}& =& 0\end{array}$