The equation of the line tangent to the curve $\mathrm{xsiny}+\mathrm{ysinx}=\mathrm{\pi } \mathrm{at} \mathrm{the} \mathrm{point} \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$  is

$\begin{array}{l}\mathrm{xsiny}+\mathrm{ysin}x=\mathrm{\pi }\\ \mathrm{Differentiating} \mathrm{w}.\mathrm{r}.\mathrm{t}. \mathrm{x}, \mathrm{we} \mathrm{get}\\ \sin \mathrm{y}+\mathrm{x} \cos \mathrm{y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \sin \mathrm{x}+\mathrm{ycosx}=0\\ \mathrm{When} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \mathrm{and} \mathrm{y}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \mathrm{we} \mathrm{have}\\ 1+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\\ \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=-1\\ \mathrm{Therefore}, \mathrm{the} \mathrm{equation} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{tangent} \mathrm{line} \mathrm{is}\\ \mathrm{y}-\frac{\mathrm{\pi }}{2}=-\left(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \mathrm{or} \mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{\pi }\end{array}$