The equation ${\mathrm{e}}^{4\mathrm{x}}+8{\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}+13{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-8{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1=0,\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ has

$\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{t},(\mathrm{t}>0){\mathrm{t}}^4+8{\mathrm{t}}^3+13{\mathrm{t}}^2-8\mathrm{t}+1=0\text{ divide with }{\mathrm{t}}^2\\ {\mathrm{t}}^2+8\mathrm{t}+13-\frac{8}{\mathrm{t}}+\frac{1}{{\mathrm{t}}^2}=0\Rightarrow \left({\mathrm{t}}^2+\frac{1}{{\mathrm{t}}^2}\right)+8\left(\mathrm{t}-\frac{1}{\mathrm{t}}\right)+13=0\\ \mathrm{t}-\frac{1}{\mathrm{t}}=\mathrm{z},{\mathrm{z}}^2+2+8\mathrm{z}+13=0\\ {\mathrm{z}}^2+8\mathrm{z}+15=0\Rightarrow (\mathrm{z}+5)(\mathrm{z}+3)=0\\ \left(\mathrm{t}-\frac{1}{\mathrm{t}}+5\right)\left(\mathrm{t}-\frac{1}{\mathrm{t}}+3\right)=0\\ \left({\mathrm{t}}^2+5\mathrm{t}-1\right)\left({\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1\right)=0\\ {\mathrm{t}}^2+5\mathrm{t}-1=0\text{ (or) }{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1=0\\ \mathrm{t}=\frac{-5\pm \sqrt{26}}{2},\mathrm{t}=\frac{-3\pm \sqrt{12}}{2}\text{ let }\mathrm{t}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}>0\\ \left.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{26}-5}{2}\left(\text{ or }\right)\frac{\sqrt{12}-3}{2}\Rightarrow \mathrm{x}={\log }_{\mathrm{e}}\left(\frac{\sqrt{26}-5}{2}\right)<0\text{ (or }\right)={\log }_{\mathrm{e}}\left(\frac{\sqrt{12}-3}{2}\right)<0\end{array}$
both roots are negative
(or) use${\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{t}\right),{\mathrm{f}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{t}\right)$