The function $f\left(x\right)=\frac{4x^3-3x^2}{6}-2\sin x+(2x-1)\cos x:$

$f\left(x\right)=\frac{4x^3-3x^2}{6}-2\sin x+(2x-1)\cos x$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=(2x^2-x)-2\cos x+2\cos x-(2x-1)\sin x=(2x-1)(x-\sin x)$

For $x>0,x-\sin x>0$

For $x<0,x-\sin x<0$

For $x\in (-\infty ,0]\cup [\frac{1}{2},-\infty ),f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$

For $x\in [0,\frac{1}{2}],f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$

Thus, $f\left(x\right)$ increases in $[\frac{1}{2},\infty ]$