The function ${\text{f(x)=(x-1)}}^2{\text{+2(x-2)}}^2{\text{+3(x-3)}}^2{\text{+……+n(x-n)}}^2$ has minimum at $\mathrm{x}=$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+2{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+---+\mathrm{n}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{n}\right)}^2 \\ {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(\mathrm{x}-1\right)+4\left(\mathrm{x}-2\right)+6\left(\mathrm{x}-3\right)+---+2\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{n}\right) \end{gathered}$$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ has min or max

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^{\mathrm{I}}\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \Rightarrow 2\left(\mathrm{x}-1\right)+4\left(\mathrm{x}-2\right)+6\left(\mathrm{x}-3\right)+---+2\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{n}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(1+2+3+---+\mathrm{n}\right)-\left(1^2+2^2+3^2+--+{\mathrm{n}}^2\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\frac{ \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)\left(2\mathrm{n}+1\right)}{6} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{2\mathrm{n}+1}{3} \end{gathered}$$