The function $\text{⨍ (x)=}\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}\left({\mathrm{e}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.}}-{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.}}\right)}{{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.}}+{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.}}}\text{, x≠0}\\ 0 ,\mathrm{x}=0\end{array}\right.$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{1/\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{x}}}\right) \\ \mathrm{RHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim \mathrm{x}}\left(\frac{1-{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}\right)=0\left(\frac{1-0}{1+0}\right)=0 \\ \mathrm{LHL}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }x\left(\frac{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}-1}{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}+1}\right)=0 \\ \therefore \mathrm{LHL}=\mathrm{RHL}=\mathrm{f}\left(0\right)\Rightarrow \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{x}=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^1\left(0^{+}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}\left({\displaystyle \frac{1-{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-2/\mathrm{x}}}}\right)-0}{\mathrm{x}-0}=1 \\ {\mathrm{f}}^1\left(0^{-}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\frac{\mathrm{x}\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}-1}{{\mathrm{e}}^{2/\mathrm{x}}+1}}\right)-0}{\mathrm{x}-0}=-1 \\ {\mathrm{f}}^1\left(0^{+}\right)\ne {\mathrm{f}}^1\left(0^{-}\right) \\ \therefore \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{differentiable} \mathrm{at} \mathrm{x}=0 \end{gathered}$$