The image of the line $\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-3}{5}=\frac{\mathrm{z}-4}{2}$ in the plane $2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+3=0$ be L. A plane $7\mathrm{x}+\mathrm{py}+\mathrm{qz}+\mathrm{r}=0$ is such that it contains line L and perpendicular to $2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+3=0$ then $\mathrm{p}+3\mathrm{q}+\mathrm{r}=$______

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-3}{5}=\frac{\mathrm{z}-4}{2}=\mathrm{\lambda }\\ (3\mathrm{\lambda }+1,5\mathrm{\lambda }+3,2\mathrm{\lambda }+4)\end{array}$
If $\mathrm{\lambda }=-1\mathrm{B}(-2,-2,2)$
Image of B in $2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+3=0$
$\frac{\mathrm{u}+2}{2}=\frac{\mathrm{v}+2}{-1}=\frac{\mathrm{w}-2}{1}=\frac{-2(-4+2+2+3)}{6}$
$\frac{\mathrm{u}+2}{2}=-1\Rightarrow \mathrm{u}=-4,\mathrm{v}=-1,\mathrm{w}=1$
$\therefore$image of B is $(-4,-1,1)={\mathrm{B}}^{\mathrm{\prime }}$
Let $\mathrm{A}=(1,3,4)\frac{\mathrm{u}-1}{2}=\frac{\mathrm{v}-3}{-1}=\frac{\mathrm{w}-4}{4}=\frac{-(2-3+4+3)}{6}$
$\mathrm{u}=-3,\mathrm{v}=5,\mathrm{w}=2\Rightarrow \text{ image of }\mathrm{A}=(-3,5,2)={\mathrm{A}}^{\mathrm{\prime }}$
Equation A'B' is $\frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}-5}{6}=\frac{\mathrm{z}-2}{1}$
It lies on $7\mathrm{x}+\mathrm{py}+\mathrm{qz}+\mathrm{r}=07(-3)+\mathrm{p}\left(5\right)+\mathrm{q}\left(2\right)+\mathrm{r}=0$
$\begin{array}{ll}5\mathrm{p}+2\mathrm{q}+\mathrm{r}=21+11& \\ 7+6\mathrm{p}+q=0\Rightarrow & 6\mathrm{p}+\mathrm{q}=-7....\left\{2\right)\\ 14-\mathrm{p}+\mathrm{q}=0\Rightarrow p-q=14=\left(3\right)& \end{array}$
-------------------
$\begin{array}{l}7\mathrm{p}=7\Rightarrow \boxed{p=1}\\ 6+q=-7\Rightarrow \boxed{\mathrm{q}=-13}\\ 5-2\left(13\right)+r=21\Rightarrow \boxed{r=42}\\ \mathrm{p}+3\mathrm{q}+\mathrm{r}=1-39+42=43-39=4\end{array}$