The integral $\int \frac{\cos 5\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}$ is equal to (where C is the constant of integration)

Given integral $=\int \frac{(\cos 5\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x})+(\cos 3\mathrm{x}-\mathrm{cosx})+\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}$
$=\int \frac{-2\sin 4\mathrm{xsinx}-2\sin 2\mathrm{xsinx}+\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}$
$\begin{array}{l}=\int \left(-2\sin 4\mathrm{x}-2\sin 2\mathrm{x}+\mathrm{cotx}\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{\cos 4\mathrm{x}}{2}+\cos 2\mathrm{x}+{\log }_{\mathrm{e}}\left|\mathrm{sinx}\right|+\mathrm{C}\end{array}$