The integral ${\int }_{{\mathrm{Tan}}^{-1}\mathrm{\lambda }}^{{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }} \frac{\tan \mathrm{x}}{\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}}\mathrm{dx},\mathrm{\lambda }\in \mathrm{R}$ cannot take the value 

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}I={\int }_{{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }}^{{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }} \frac{\tan \mathrm{x}}{\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}}\mathrm{dx}\mathrm{\lambda }\in \mathrm{R} \\ \mathrm{apply} \mathrm{the} \mathrm{property} \mathrm{f}\left[\mathrm{x}\right]=\mathrm{f}\left[\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right] \\ \mathrm{and} {\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }+{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \mathrm{I}={\int }_{{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }}^{{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }} \frac{\cot \mathrm{x}}{\cot \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ 2\mathrm{I}={\int }_{{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }}^{{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }} \frac{\cot \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}}{\cot \mathrm{x}+\tan \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{I}=\frac{1}{2}\left[{\cot }^{-1}\mathrm{\lambda }-{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }\right]\end{array} \\ \sin ce -\frac{\mathrm{\pi }}{2}<{\tan }^{-1}\mathrm{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \Rightarrow -\mathrm{\pi }<2{\tan }^{-1}\mathrm{x}<\mathrm{\pi }\Rightarrow \frac{3\mathrm{\pi }}{2}>\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2{\tan }^{-1}\mathrm{x}>-\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \therefore \frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2{\tan }^{-1}\mathrm{\lambda }\right]\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right) \end{gathered}$$