The integral  $\int \frac{{\mathrm{x}}^2{\sec }^2\mathrm{x}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{dx}}{(1+\mathrm{xtanx})(\mathrm{x}-\mathrm{tanx})}$is equal to (where C is the constant of integration)

Given integral $=\int \frac{{\mathrm{x}}^2\mathrm{dx}}{(\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx})(\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx})}$
$=\int \frac{\mathrm{xcosx}(\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx})+\mathrm{xsinx}(\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx})}{(\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx})(\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx})}\mathrm{dx}$
$$\begin{gathered} \begin{array}{l}=\int \frac{\mathrm{xcosx}}{\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx}}\mathrm{dx}-\int \frac{-\mathrm{xsinx}}{\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}\\ ={\log }_{\mathrm{e}}\left|\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx}\right|-{\log }_{\mathrm{e}}\left|\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx}\right|+\mathrm{C} \\ ={\log }_{\mathrm{e}}\frac{\left|\mathrm{cosx}+\mathrm{xsinx}\right|}{\left|\mathrm{xcosx}-\mathrm{sinx}\right|}+\mathrm{c} \\ ={\log }_{\mathrm{e}}\left|\frac{(1+\mathrm{xtanx})}{(\mathrm{x}-\mathrm{tanx})}\right|+\mathrm{C}\end{array} \end{gathered}$$