The integral ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \frac{1}{3+2\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}\mathrm{dx}$ is equal to :

Let $\mathrm{I}={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \frac{1}{3+2\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}\mathrm{dx}$
$={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \frac{\left(1+{\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}{3\left(1+{\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)+2\left(2\tan \frac{\mathrm{x}}{2}\right)+\left(1-{\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}\mathrm{dx}$
$={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2} \frac{{\sec }^2 \frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}}{2{\tan }^2 \frac{\mathrm{x}}{2}+4\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+4}$
Put $\tan \frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{t}\Rightarrow \frac{1}{2}{\sec }^2 \frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{dx}=\mathrm{dt}$, 
$\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{t}=0,\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow \mathrm{t}=1\\ \therefore \mathrm{I}={\int }_0^1 \frac{2\mathrm{dt}}{2{\mathrm{t}}^2+4\mathrm{t}+4}={\int }_0^1 \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2+2\mathrm{t}+2}\\ ={\int }_0^1 \frac{\mathrm{dt}}{(\mathrm{t}+1{)}^2+1}={\left[{\tan }^{-1}(\mathrm{t}+1)\right]}_0^1\\ ={\tan }^{-1}2-{\tan }^{-1}1={\tan }^{-1}2-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\end{array}$