The lefthand derivative of $\text{⨍ (x)=}\left[\mathrm{x}\right]\sin \left(\mathrm{\pi x}\right)$ at $\mathrm{x}=\mathrm{k}, \mathrm{k}$ an integer and $\left[\mathrm{x}\right]=$greatest integer $\le \mathrm{x},$ is

$⨍ \left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{x}\right] \sin \mathrm{\pi x}$

at $\mathrm{x}=\mathrm{k}$ (integer)

$⨍ \left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ccc}(\mathrm{k}-1)& \sin \mathrm{\pi x}& : \mathrm{x}<\mathrm{k},\\ \mathrm{k}& \sin \mathrm{\pi x}& : \mathrm{x}\ge \mathrm{k}.\end{array}\right.$

LHD $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\left(\mathrm{k}-1\right) \sin \mathrm{\pi x}\right)$ at $\mathrm{x}=\mathrm{k}.$

        $=\left(\mathrm{k}-1\right) \mathrm{\pi } \cos \mathrm{\pi x},$ at $\mathrm{x}=\mathrm{k},$ 

        $=(\mathrm{k}-1) \mathrm{\pi } \cos \mathrm{k\pi }$

        $={(-1)}^{\mathrm{k}} (\mathrm{k}-1) \mathrm{\pi }$