The minimum value of the function $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{|\mathrm{x}-\mathrm{t}|}\mathrm{dt}$  is

$\begin{array}{l}\mathrm{For}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}>2\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}-\mathrm{t}}\mathrm{dt}\Rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\left[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right]}_0^2 \Rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(1-{\mathrm{e}}^{-2})\\ \mathrm{For}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}-\mathrm{t}}\mathrm{dt}\Rightarrow {{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\right]}_0^2\Rightarrow {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^2-1)\\ \mathrm{For}\mathrm{\hspace{0.17em}}0\le \mathrm{x}\le 2\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}-\mathrm{t}}\mathrm{dt}+\underset{\mathrm{x}}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}-\mathrm{x}}\mathrm{dt}\\ =-{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}\right]}_0^{\mathrm{x}}+{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\right]}_{\mathrm{x}}^2\\ =-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-1)+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^2-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})\\ =-1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{2-\mathrm{x}}-1\\ ={\mathrm{e}}^{2-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(1-{\mathrm{e}}^{-2}) \mathrm{x}>2\\ {\mathrm{e}}^{2-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2\mathrm{\hspace{0.17em}} 0\le \mathrm{x}\le 2\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1) \mathrm{x}<0\end{array}\right.\\ \mathrm{For}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}>2\\ \mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}_{\min }={\mathrm{e}}^2-1\\ \mathrm{For}\mathrm{\hspace{0.17em}}0\le \mathrm{x}\le 2\\ {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{e}}^{2-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=0\\ \Rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{2-\mathrm{x}}\\ \Rightarrow {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^2\\ \Rightarrow \mathrm{x}=1\\ \mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}_{\min }=2\mathrm{e}-2=2(\mathrm{e}-1)\end{array}$