The number of real solution of the equation ${\mathrm{Sin}}^{-1}\left[\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{\infty }} {\mathrm{x}}^{\mathrm{i}+1}-\mathrm{x}\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{\infty }} {\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{\mathrm{i}}\right]=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\mathrm{Cos}}^{-1}\left[\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{\infty }} {\left(-\frac{\mathrm{x}}{2}\right)}^{\mathrm{i}}-\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{\infty }} (-\mathrm{x}{)}^{\mathrm{i}}\right]$ lying in the interval $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ is

$\begin{array}{l}{\mathrm{Sin}}^{-1}\left[\frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{x}}-\mathrm{x}\cdot \frac{\frac{\mathrm{x}}{2}}{1-\frac{\mathrm{x}}{2}}\right]={\mathrm{Sin}}^{-1}\left[\frac{-\frac{\mathrm{x}}{2}}{1+\frac{\mathrm{x}}{2}}-\frac{-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\right]\\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{x}}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2-\mathrm{x}}=\frac{-\mathrm{x}}{2+\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}\\ \Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}}{2+\mathrm{x}}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2-\mathrm{x}}=0\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\right)}{1-{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{x}\left(2-3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right)}{4-{\mathrm{x}}^2}=0\\ \begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-2\right)=0\\ \Rightarrow \mathrm{x}=0\text{ or }{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-2=0\end{array}\end{array}$
We observe that P(o)<0 and $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}\right)>0$
$\therefore$are root lien between $\left(0,\frac{1}{2}\right)$
$\therefore$no of roots =2