The partial fractions of $\frac{x^2}{\left(x^2+a^2\right)\left(x^2+b^2\right)}$  are

$\Rightarrow x^2=\left(Ax+B\right)\left(x^2+b^2\right)+\left(Cx+D\right)\left(x^2+a^2\right)$

$A+C=0\to \left(1\right);B+D=1\to \left(2\right);A{b}^2+C{a}^2=0\to \left(3\right);$ $B{b}^2+D{a}^2=0\to \left(4\right)$

From (1) and (3)

$A=0,C=0$

From (2) and (4)

$B=\frac{a^2}{a^2-b^2};D=\frac{-b^2}{a^2-b^2}$

$\frac{a^2}{\left(a^2-b^2\right)\left(x^2+a^2\right)}-\frac{b^2}{\left(a^2-b^2\right)\left(x^2+b^2\right)}$

$\frac{1}{\left(a^2-b^2\right)}\left[\frac{a^2}{x^2+a^2}-\frac{b^2}{x^2+b^2}\right]$