The real values of x and y satisfying the equation $\frac{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}-2\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}+\frac{(2-3\mathrm{i})\mathrm{y}+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$ are

$\frac{(1+\mathrm{i})\mathrm{x}-2\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}+\frac{(2-3\mathrm{i})\mathrm{y}+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$
$\frac{{\displaystyle \left(3-\mathrm{i}\right)\left((1+\mathrm{i})\mathrm{x}-2\mathrm{i}\right)+\left(3+\mathrm{i}\right)\left((2-3\mathrm{i})\mathrm{y}+\mathrm{i}\right)}}{{\displaystyle 9+1}}=\mathrm{i}$
$(3-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})\mathrm{x}-2\mathrm{i}(3-\mathrm{i})+(3+\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})\mathrm{y}+\mathrm{i}(3+\mathrm{i})=10\mathrm{i}$
$\left(4+2i\right)x-6i-2+\left(9-7i\right)y+3i-1=10i$
$4x+9y-3+(2x-7y-13)i=0$
$2\mathrm{x}-7\mathrm{y}=13, 4\mathrm{x}+9\mathrm{y}=3$
$$\begin{gathered} solving equations \\ \Rightarrow \mathrm{x}=3, \mathrm{y}=-1 \end{gathered}$$