The sequence $\mathrm{S}=\mathrm{i}+2{\mathrm{i}}^2+3{\mathrm{i}}^3+4{\mathrm{i}}^4+\cdots$ up to 100 terms simplifies to, where $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$

$\mathrm{S}=\mathrm{i}+2{\mathrm{i}}^2+3{\mathrm{i}}^3+\cdots +100{\mathrm{i}}^{100}$

$\mathrm{S}\cdot \mathrm{i}={\mathrm{i}}^2+2{\mathrm{i}}^3+\cdots +99{\mathrm{i}}^{100}+100{\mathrm{i}}^{101}$

$\begin{array}{l}\mathrm{S}(1-\mathrm{i})=\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3+\cdots +{\mathrm{i}}^{100}-100{\mathrm{i}}^{101}\\ \mathrm{S}(1-\mathrm{i})=\left(\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3+{\mathrm{i}}^4\right)+\left({\mathrm{i}}^5+{\mathrm{i}}^6+{\mathrm{i}}^7+{\mathrm{i}}^8\right)\\ \Rightarrow \mathrm{S}(1-\mathrm{i})=0+0+\cdots +\left({\mathrm{i}}^{97}+{\mathrm{i}}^{98}+{\mathrm{i}}^{99}+{\mathrm{i}}^{100}\right)-100\mathrm{i}\\ \Rightarrow \mathrm{S}=\frac{-100\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-100\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}\\ \Rightarrow \mathrm{S}=-50(\mathrm{i}-1)\\ \therefore \mathrm{S}=50(1-\mathrm{i})\end{array}$