The shortest distance of (0, 0) from the curve $y =$

$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ is 

Let $(x,y)$ be any point on $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$U=S^2=$square of distance of $(x,y)$ from $(0,0)$

              $=x^2+\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4}+\frac{1}{2}$

$\frac{dU}{dx}=2x+\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}=0\text{ for }x=0$

and $\frac{d^{2}U}{d{x}^2}>0$ at $x=0$ Hence  $S^2$ is min for $x=0$

and min $S^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.