The solution of $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}+4{)}^2$ is

Given equation is $\mathrm{dy}/\mathrm{dx}=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}+4{)}^2\to (1)$

Put $3\mathrm{x}+\mathrm{y}+4=\mathrm{z}\text{. Then }3+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}-3$

$\therefore \left(1\right)\Rightarrow \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}-3={\mathrm{z}}^2\Rightarrow \frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{z}}^2+3\Rightarrow \frac{1}{{\mathrm{z}}^2+3}\mathrm{dz}=\mathrm{dx}$

$\Rightarrow \int \frac{1}{{\mathrm{z}}^2+3}\mathrm{dz}=\int \mathrm{dx}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}{\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{3}}\right)=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{c}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

$\Rightarrow \mathrm{z}=\sqrt{3}\mathrm{Tan}(\sqrt{3}\mathrm{x}+\mathrm{c})\Rightarrow 3\mathrm{x}+\mathrm{y}+4=\sqrt{3}\mathrm{Tan}(\sqrt{3}\mathrm{x}+\mathrm{c})$